מכפלות סקלריות בפירמידה משולשת – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳וקטורים 472 · שיעור 12
📄 נוסח השאלה
בפירמידה המשולשת ABCD הפאות ABD ו־ACD הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה E היא אמצע המקצוע CD. הנקודה F נמצאת על המקצוע BD ומחלקת אותו ביחס של BF : FD = 1 : 2.
נסמן: AB = u , AC = v , AD = w. נתון: |u| = |v| = |w| = 6 , ∡BAC = 45 מעלות.
א. חשבו את המכפלות הסקלריות שלפניכם: u · v , u · w , v · w.
סעיף א – המכפלות הסקלריות
הזווית בין u ל־v היא ∡BAC = 45 מעלות:
u · v = |u| · |v| · cos(∡BAC)
📐 מכפלה סקלרית
נציב |u| = |v| = 6 , ∡BAC = 45:
u · v = 6 · 6 · cos(45)
u · v = 36 · √22 = 18√2 ≈ 25.46
המשולש ABD שווה צלעות, ולכן הזווית בין u ל־w (∡BAD) היא 60 מעלות:
📐 מכפלה סקלרית
a · b = |a| · |b| · cos(∡)
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
המשולש ABD שווה צלעות, ולכן הזווית בין u ל־w (∡BAD) היא 60 מעלות:
u · w = |u| · |w| · cos(∡BAD)
נציב |u| = |w| = 6 , ∡BAD = 60:
u · w = 6 · 6 · cos(60)
u · w = 36 · 12 = 18
גם ACD שווה צלעות, ולכן ∡CAD = 60 מעלות:
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
גם ACD שווה צלעות, ולכן ∡CAD = 60 מעלות:
v · w = |v| · |w| · cos(∡CAD)
נציב |v| = |w| = 6 , ∡CAD = 60:
v · w = 6 · 6 · cos(60) = 18
✅ פתרון סופי: u · v = 18√2 , u · w = 18 , v · w = 18
📌 סיכום התשובות
סעיף א
18√2 , 18 , 18
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא